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|00000e50| 72 69 63 65 73 20 61 6e | 64 20 69 6e 76 65 73 74 |rices an|d invest|
|00000e60| 69 67 61 74 65 20 73 6f | 6d 65 20 6f 66 0a 74 68 |igate so|me of.th|
|00000e70| 65 69 72 20 62 61 73 69 | 63 20 70 72 6f 70 65 72 |eir basi|c proper|
|00000e80| 74 69 65 73 2e 0a 20 0a | 4c 65 74 20 24 53 3d 5b |ties.. .|Let $S=[|
|00000e90| 73 5f 7b 69 6a 7d 5d 24 | 20 62 65 20 61 20 24 28 |s_{ij}]$| be a $(|
|00000ea0| 30 2c 31 2c 2d 31 29 24 | 2d 6d 61 74 72 69 78 20 |0,1,-1)$|-matrix |
|00000eb0| 6f 66 20 6f 72 64 65 72 | 20 24 6e 24 20 61 6e 64 |of order| $n$ and|
|00000ec0| 0a 6c 65 74 20 24 43 3d | 5b 63 5f 7b 69 6a 7d 5d |.let $C=|[c_{ij}]|
|00000ed0| 24 20 62 65 20 61 20 72 | 65 61 6c 20 6d 61 74 72 |$ be a r|eal matr|
|00000ee0| 69 78 20 6f 66 20 6f 72 | 64 65 72 20 24 6e 24 2e |ix of or|der $n$.|
|00000ef0| 20 54 68 65 20 70 61 69 | 72 0a 24 28 53 2c 43 29 | The pai|r.$(S,C)|
|00000f00| 24 20 69 73 20 63 61 6c | 6c 65 64 20 61 20 7b 5c |$ is cal|led a {\|
|00000f10| 65 6d 20 6d 61 74 72 69 | 78 20 70 61 69 72 20 6f |em matri|x pair o|
|00000f20| 66 20 6f 72 64 65 72 7d | 20 24 6e 24 2e 0a 54 68 |f order}| $n$..Th|
|00000f30| 72 6f 75 67 68 6f 75 74 | 2c 20 24 58 3d 5b 78 5f |roughout|, $X=[x_|
|00000f40| 7b 69 6a 7d 5d 24 20 64 | 65 6e 6f 74 65 73 20 61 |{ij}]$ d|enotes a|
|00000f50| 20 6d 61 74 72 69 78 20 | 6f 66 20 6f 72 64 65 72 | matrix |of order|
|00000f60| 20 24 6e 24 0a 77 68 6f | 73 65 20 65 6e 74 72 69 | $n$.who|se entri|
|00000f70| 65 73 20 61 72 65 20 61 | 6c 67 65 62 72 61 69 63 |es are a|lgebraic|
|00000f80| 61 6c 6c 79 20 69 6e 64 | 65 70 65 6e 64 65 6e 74 |ally ind|ependent|
|00000f90| 20 69 6e 64 65 74 65 72 | 6d 69 6e 61 74 65 73 0a | indeter|minates.|
|00000fa0| 6f 76 65 72 20 74 68 65 | 20 72 65 61 6c 20 66 69 |over the| real fi|
|00000fb0| 65 6c 64 2e 20 4c 65 74 | 20 24 53 5c 63 69 72 63 |eld. Let| $S\circ|
|00000fc0| 20 58 24 20 64 65 6e 6f | 74 65 20 74 68 65 20 48 | X$ deno|te the H|
|00000fd0| 61 64 61 6d 61 72 64 0a | 70 72 6f 64 75 63 74 20 |adamard.|product |
|00000fe0| 28 65 6e 74 72 79 77 69 | 73 65 20 70 72 6f 64 75 |(entrywi|se produ|
|00000ff0| 63 74 29 20 6f 66 20 24 | 53 24 20 61 6e 64 20 24 |ct) of $|S$ and $|
|00001000| 58 24 2e 20 57 65 20 73 | 61 79 20 74 68 61 74 20 |X$. We s|ay that |
|00001010| 74 68 65 0a 70 61 69 72 | 20 24 28 53 2c 43 29 24 |the.pair| $(S,C)$|
|00001020| 20 69 73 20 61 20 7b 5c | 65 6d 20 73 69 67 6e 2d | is a {\|em sign-|
|00001030| 6e 6f 6e 73 69 6e 67 75 | 6c 61 72 20 6d 61 74 72 |nonsingu|lar matr|
|00001040| 69 78 20 70 61 69 72 20 | 6f 66 0a 6f 72 64 65 72 |ix pair |of.order|
|00001050| 7d 20 24 6e 24 2c 20 61 | 62 62 72 65 76 69 61 74 |} $n$, a|bbreviat|
|00001060| 65 64 20 53 4e 53 2d 7b | 5c 65 6d 20 6d 61 74 72 |ed SNS-{|\em matr|
|00001070| 69 78 20 70 61 69 72 20 | 6f 66 20 6f 72 64 65 72 |ix pair |of order|
|00001080| 7d 20 24 6e 24 2c 0a 70 | 72 6f 76 69 64 65 64 20 |} $n$,.p|rovided |
|00001090| 74 68 61 74 20 74 68 65 | 20 6d 61 74 72 69 78 20 |that the| matrix |
|000010a0| 5c 5b 41 3d 53 5c 63 69 | 72 63 20 58 2b 43 5c 5d |\[A=S\ci|rc X+C\]|
|000010b0| 20 69 73 20 6e 6f 6e 73 | 69 6e 67 75 6c 61 72 0a | is nons|ingular.|
|000010c0| 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 | 70 6f 73 69 74 69 76 65 |for all |positive|
|000010d0| 20 72 65 61 6c 20 76 61 | 6c 75 65 73 20 6f 66 20 | real va|lues of |
|000010e0| 74 68 65 20 24 78 5f 7b | 69 6a 7d 24 2e 20 20 49 |the $x_{|ij}$. I|
|000010f0| 66 20 24 43 3d 4f 24 0a | 74 68 65 6e 20 74 68 65 |f $C=O$.|then the|
|00001100| 20 70 61 69 72 20 24 28 | 53 2c 4f 29 24 20 69 73 | pair $(|S,O)$ is|
|00001110| 20 61 20 53 4e 53 2d 6d | 61 74 72 69 78 20 70 61 | a SNS-m|atrix pa|
|00001120| 69 72 20 69 66 20 61 6e | 64 20 6f 6e 6c 79 20 69 |ir if an|d only i|
|00001130| 66 0a 24 53 24 20 69 73 | 20 61 20 53 4e 53 2d 6d |f.$S$ is| a SNS-m|
|00001140| 61 74 72 69 78 2e 20 20 | 49 66 20 24 53 3d 4f 24 |atrix. |If $S=O$|
|00001150| 20 74 68 65 6e 20 74 68 | 65 20 70 61 69 72 20 24 | then th|e pair $|
|00001160| 28 4f 2c 43 29 24 20 69 | 73 20 61 0a 53 4e 53 2d |(O,C)$ i|s a.SNS-|
|00001170| 6d 61 74 72 69 78 20 70 | 61 69 72 20 69 66 20 61 |matrix p|air if a|
|00001180| 6e 64 20 6f 6e 6c 79 20 | 69 66 20 24 43 24 20 69 |nd only |if $C$ i|
|00001190| 73 20 6e 6f 6e 73 69 6e | 67 75 6c 61 72 2e 20 54 |s nonsin|gular. T|
|000011a0| 68 75 73 0a 53 4e 53 2d | 6d 61 74 72 69 78 20 70 |hus.SNS-|matrix p|
|000011b0| 61 69 72 73 20 69 6e 63 | 6c 75 64 65 20 62 6f 74 |airs inc|lude bot|
|000011c0| 68 20 6e 6f 6e 73 69 6e | 67 75 6c 61 72 20 6d 61 |h nonsin|gular ma|
|000011d0| 74 72 69 63 65 73 20 61 | 6e 64 0a 73 69 67 6e 2d |trices a|nd.sign-|
|000011e0| 6e 6f 6e 73 69 6e 67 75 | 6c 61 72 20 6d 61 74 72 |nonsingu|lar matr|
|000011f0| 69 63 65 73 20 61 73 20 | 73 70 65 63 69 61 6c 20 |ices as |special |
|00001200| 63 61 73 65 73 2e 0a 20 | 0a 54 68 65 20 70 61 69 |cases.. |.The pai|
|00001210| 72 73 20 24 28 53 2c 43 | 29 24 20 77 69 74 68 0a |rs $(S,C|)$ with.|
|00001220| 5c 5b 53 3d 5c 6c 65 66 | 74 5b 5c 62 65 67 69 6e |\[S=\lef|t[\begin|
|00001230| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 63 63 7d 31 26 30 5c 5c |{array}{|cc}1&0\\|
|00001240| 30 26 30 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 5c 72 |0&0\end{|array}\r|
|00001250| 69 67 68 74 5d 2c 5c 71 | 71 75 61 64 20 0a 43 3d |ight],\q|quad .C=|
|00001260| 5c 6c 65 66 74 5b 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |\left[\b|egin{arr|
|00001270| 61 79 7d 7b 63 63 7d 31 | 26 31 5c 5c 31 26 31 5c |ay}{cc}1|&1\\1&1\|
|00001280| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 5c 72 69 67 68 74 |end{arra|y}\right|
|00001290| 5d 5c 5d 20 61 6e 64 20 | 0a 5c 5b 53 3d 5c 6c 65 |]\] and |.\[S=\le|
|000012a0| 66 74 5b 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d |ft[\begi|n{array}|
|000012b0| 7b 63 63 63 7d 31 26 31 | 26 30 5c 5c 31 26 31 26 |{ccc}1&1|&0\\1&1&|
|000012c0| 30 5c 5c 30 26 30 26 30 | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |0\\0&0&0|\end{arr|
|000012d0| 61 79 7d 5c 72 69 67 68 | 74 5d 2c 5c 71 71 75 61 |ay}\righ|t],\qqua|
|000012e0| 64 20 0a 43 3d 5c 6c 65 | 66 74 5b 5c 62 65 67 69 |d .C=\le|ft[\begi|
|000012f0| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 63 7d 30 26 30 |n{array}|{ccc}0&0|
|00001300| 26 31 5c 5c 30 26 32 26 | 30 5c 5c 0a 33 26 30 26 |&1\\0&2&|0\\.3&0&|
|00001310| 30 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 5c 72 69 67 |0\end{ar|ray}\rig|
|00001320| 68 74 5d 5c 5d 20 61 72 | 65 20 65 78 61 6d 70 6c |ht]\] ar|e exampl|
|00001330| 65 73 20 6f 66 20 53 4e | 53 2d 6d 61 74 72 69 78 |es of SN|S-matrix|
|00001340| 20 70 61 69 72 73 2e 0a | 0a 5c 73 75 62 73 65 63 | pairs..|.\subsec|
|00001350| 74 69 6f 6e 7b 41 20 72 | 65 6d 75 6e 65 72 61 74 |tion{A r|emunerat|
|00001360| 69 6f 6e 20 6c 69 73 74 | 7d 0a 49 6e 20 74 68 69 |ion list|}.In thi|
|00001370| 73 20 70 61 70 65 72 20 | 77 65 20 63 6f 6e 73 69 |s paper |we consi|
|00001380| 64 65 72 20 74 68 65 20 | 65 76 61 6c 75 61 74 69 |der the |evaluati|
|00001390| 6f 6e 20 6f 66 20 69 6e | 74 65 67 72 61 6c 73 20 |on of in|tegrals |
|000013a0| 6f 66 20 74 68 65 20 0a | 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e |of the .|followin|
|000013b0| 67 20 66 6f 72 6d 73 3a | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |g forms:|.\begin{|
|000013c0| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 7d 0a 5c 69 6e 74 5f 61 |equation|}.\int_a|
|000013d0| 5e 62 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 5c 73 75 6d 5f 69 |^b \left|( \sum_i|
|000013e0| 20 45 5f 69 20 42 5f 7b | 69 2c 6b 2c 78 7d 28 74 | E_i B_{|i,k,x}(t|
|000013f0| 29 20 5c 72 69 67 68 74 | 29 0a 20 20 20 20 20 20 |) \right|). |
|00001400| 20 20 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 5c 73 75 6d 5f 6a | \left|( \sum_j|
|00001410| 20 46 5f 6a 20 42 5f 7b | 6a 2c 6c 2c 79 7d 28 74 | F_j B_{|j,l,y}(t|
|00001420| 29 20 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 64 74 2c 5c 6c 61 |) \right|) dt,\la|
|00001430| 62 65 6c 7b 70 72 6f 62 | 6c 65 6d 7d 0a 5c 65 6e |bel{prob|lem}.\en|
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|00001450| 69 6e 7b 65 71 75 61 74 | 69 6f 6e 7d 0a 5c 69 6e |in{equat|ion}.\in|
|00001460| 74 5f 61 5e 62 20 66 28 | 74 29 20 5c 6c 65 66 74 |t_a^b f(|t) \left|
|00001470| 28 20 5c 73 75 6d 5f 69 | 20 45 5f 69 20 42 5f 7b |( \sum_i| E_i B_{|
|00001480| 69 2c 6b 2c 78 7d 28 74 | 29 20 5c 72 69 67 68 74 |i,k,x}(t|) \right|
|00001490| 29 20 64 74 2c 5c 6c 61 | 62 65 6c 7b 70 72 6f 62 |) dt,\la|bel{prob|
|000014a0| 6c 65 6d 32 7d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 71 75 61 74 |lem2}.\e|nd{equat|
|000014b0| 69 6f 6e 7d 0a 77 68 65 | 72 65 20 24 42 5f 7b 69 |ion}.whe|re $B_{i|
|000014c0| 2c 6b 2c 78 7d 24 20 69 | 73 20 74 68 65 20 24 69 |,k,x}$ i|s the $i|
|000014d0| 24 74 68 20 42 2d 73 70 | 6c 69 6e 65 20 6f 66 20 |$th B-sp|line of |
|000014e0| 6f 72 64 65 72 20 24 6b | 24 20 64 65 66 69 6e 65 |order $k|$ define|
|000014f0| 64 20 6f 76 65 72 20 74 | 68 65 0a 6b 6e 6f 74 73 |d over t|he.knots|
|00001500| 20 24 78 5f 69 2c 20 78 | 5f 7b 69 2b 31 7d 2c 20 | $x_i, x|_{i+1}, |
|00001510| 5c 6c 64 6f 74 73 2c 20 | 78 5f 7b 69 2b 6b 7d 24 |\ldots, |x_{i+k}$|
|00001520| 2e 0a 57 65 20 77 69 6c | 6c 20 63 6f 6e 73 69 64 |..We wil|l consid|
|00001530| 65 72 20 42 2d 73 70 6c | 69 6e 65 73 20 6e 6f 72 |er B-spl|ines nor|
|00001540| 6d 61 6c 69 7a 65 64 20 | 73 6f 20 74 68 61 74 20 |malized |so that |
|00001550| 74 68 65 69 72 20 69 6e | 74 65 67 72 61 6c 20 69 |their in|tegral i|
|00001560| 73 20 6f 6e 65 2e 0a 54 | 68 65 20 73 70 6c 69 6e |s one..T|he splin|
|00001570| 65 73 20 6d 61 79 20 62 | 65 20 6f 66 20 64 69 66 |es may b|e of dif|
|00001580| 66 65 72 65 6e 74 20 6f | 72 64 65 72 73 20 61 6e |ferent o|rders an|
|00001590| 64 0a 64 65 66 69 6e 65 | 64 20 6f 6e 20 64 69 66 |d.define|d on dif|
|000015a0| 66 65 72 65 6e 74 20 6b | 6e 6f 74 20 73 65 71 75 |ferent k|not sequ|
|000015b0| 65 6e 63 65 73 20 24 78 | 24 20 61 6e 64 20 24 79 |ences $x|$ and $y|
|000015c0| 24 2e 0a 4f 66 74 65 6e | 20 74 68 65 20 6c 69 6d |$..Often| the lim|
|000015d0| 69 74 73 20 6f 66 20 69 | 6e 74 65 67 72 61 74 69 |its of i|ntegrati|
|000015e0| 6f 6e 20 77 69 6c 6c 20 | 62 65 20 74 68 65 20 65 |on will |be the e|
|000015f0| 6e 74 69 72 65 20 72 65 | 61 6c 20 6c 69 6e 65 2c |ntire re|al line,|
|00001600| 20 24 2d 5c 69 6e 66 74 | 79 24 0a 74 6f 20 24 2b | $-\inft|y$.to $+|
|00001610| 5c 69 6e 66 74 79 24 2e | 20 4e 6f 74 65 20 74 68 |\infty$.| Note th|
|00001620| 61 74 20 28 5c 72 65 66 | 7b 70 72 6f 62 6c 65 6d |at (\ref|{problem|
|00001630| 7d 29 20 69 73 20 61 20 | 73 70 65 63 69 61 6c 20 |}) is a |special |
|00001640| 63 61 73 65 20 6f 66 20 | 28 5c 72 65 66 7b 70 72 |case of |(\ref{pr|
|00001650| 6f 62 6c 65 6d 32 7d 29 | 0a 77 68 65 72 65 20 24 |oblem2})|.where $|
|00001660| 66 28 74 29 24 20 69 73 | 20 61 20 73 70 6c 69 6e |f(t)$ is| a splin|
|00001670| 65 2e 0a 0a 0a 54 68 65 | 72 65 20 61 72 65 20 66 |e....The|re are f|
|00001680| 69 76 65 20 64 69 66 66 | 65 72 65 6e 74 20 6d 65 |ive diff|erent me|
|00001690| 74 68 6f 64 73 20 66 6f | 72 20 63 61 6c 63 75 6c |thods fo|r calcul|
|000016a0| 61 74 69 6e 67 20 28 5c | 72 65 66 7b 70 72 6f 62 |ating (\|ref{prob|
|000016b0| 6c 65 6d 7d 29 0a 74 68 | 61 74 20 77 69 6c 6c 20 |lem}).th|at will |
|000016c0| 62 65 20 63 6f 6e 73 69 | 64 65 72 65 64 3a 0a 5c |be consi|dered:.\|
|000016d0| 62 65 67 69 6e 7b 72 65 | 6d 75 6e 65 72 61 74 65 |begin{re|munerate|
|000016e0| 7d 0a 5c 69 74 65 6d 20 | 55 73 65 20 47 61 75 73 |}.\item |Use Gaus|
|000016f0| 73 20 71 75 61 64 72 61 | 74 75 72 65 20 6f 6e 20 |s quadra|ture on |
|00001700| 65 61 63 68 20 69 6e 74 | 65 72 76 61 6c 2e 0a 5c |each int|erval..\|
|00001710| 69 74 65 6d 20 43 6f 6e | 76 65 72 74 20 74 68 65 |item Con|vert the|
|00001720| 20 69 6e 74 65 67 72 61 | 6c 20 74 6f 20 61 20 6c | integra|l to a l|
|00001730| 69 6e 65 61 72 20 63 6f | 6d 62 69 6e 61 74 69 6f |inear co|mbinatio|
|00001740| 6e 20 6f 66 0a 20 20 20 | 20 20 20 69 6e 74 65 67 |n of. | integ|
|00001750| 72 61 6c 73 20 6f 66 20 | 70 72 6f 64 75 63 74 73 |rals of |products|
|00001760| 20 6f 66 20 42 2d 73 70 | 6c 69 6e 65 73 20 61 6e | of B-sp|lines an|
|00001770| 64 20 70 72 6f 76 69 64 | 65 20 61 20 72 65 63 75 |d provid|e a recu|
|00001780| 72 72 65 6e 63 65 20 66 | 6f 72 0a 20 20 20 20 20 |rrence f|or. |
|00001790| 20 69 6e 74 65 67 72 61 | 74 69 6e 67 20 74 68 65 | integra|ting the|
|000017a0| 20 70 72 6f 64 75 63 74 | 20 6f 66 20 61 20 70 61 | product| of a pa|
|000017b0| 69 72 20 6f 66 20 42 2d | 73 70 6c 69 6e 65 73 2e |ir of B-|splines.|
|000017c0| 0a 5c 69 74 65 6d 20 43 | 6f 6e 76 65 72 74 20 74 |.\item C|onvert t|
|000017d0| 68 65 20 73 75 6d 73 20 | 6f 66 20 42 2d 73 70 6c |he sums |of B-spl|
|000017e0| 69 6e 65 73 20 74 6f 20 | 70 69 65 63 65 77 69 73 |ines to |piecewis|
|000017f0| 65 0a 20 20 20 20 20 20 | 42 5c 27 7b 65 7d 7a 69 |e. |B\'{e}zi|
|00001800| 65 72 20 66 6f 72 6d 61 | 74 20 61 6e 64 20 69 6e |er forma|t and in|
|00001810| 74 65 67 72 61 74 65 20 | 73 65 67 6d 65 6e 74 0a |tegrate |segment.|
|00001820| 20 20 20 20 20 20 62 79 | 20 73 65 67 6d 65 6e 74 | by| segment|
|00001830| 20 75 73 69 6e 67 20 74 | 68 65 20 70 72 6f 70 65 | using t|he prope|
|00001840| 72 74 69 65 73 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 42 65 72 |rties of| the Ber|
|00001850| 6e 73 74 65 69 6e 20 70 | 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 |nstein p|olynomia|
|00001860| 6c 73 2e 0a 5c 69 74 65 | 6d 20 45 78 70 72 65 73 |ls..\ite|m Expres|
|00001870| 73 20 74 68 65 20 70 72 | 6f 64 75 63 74 20 6f 66 |s the pr|oduct of|
|00001880| 20 61 20 70 61 69 72 20 | 6f 66 20 42 2d 73 70 6c | a pair |of B-spl|
|00001890| 69 6e 65 73 20 61 73 20 | 61 20 6c 69 6e 65 61 72 |ines as |a linear|
|000018a0| 20 63 6f 6d 62 69 6e 61 | 74 69 6f 6e 0a 20 20 20 | combina|tion. |
|000018b0| 20 20 20 6f 66 20 42 2d | 73 70 6c 69 6e 65 73 2e | of B-|splines.|
|000018c0| 0a 20 20 20 20 20 20 55 | 73 65 20 74 68 69 73 20 |. U|se this |
|000018d0| 74 6f 20 72 65 66 6f 72 | 6d 75 6c 61 74 65 20 74 |to refor|mulate t|
|000018e0| 68 65 20 69 6e 74 65 67 | 72 61 6e 64 20 61 73 20 |he integ|rand as |
|000018f0| 61 20 6c 69 6e 65 61 72 | 20 63 6f 6d 62 69 6e 61 |a linear| combina|
|00001900| 74 69 6f 6e 0a 20 20 20 | 20 20 20 6f 66 20 42 2d |tion. | of B-|
|00001910| 73 70 6c 69 6e 65 73 2c | 20 61 6e 64 20 69 6e 74 |splines,| and int|
|00001920| 65 67 72 61 74 65 20 74 | 65 72 6d 20 62 79 20 74 |egrate t|erm by t|
|00001930| 65 72 6d 2e 0a 5c 69 74 | 65 6d 20 49 6e 74 65 67 |erm..\it|em Integ|
|00001940| 72 61 74 65 20 62 79 20 | 70 61 72 74 73 2e 0a 5c |rate by |parts..\|
|00001950| 65 6e 64 7b 72 65 6d 75 | 6e 65 72 61 74 65 7d 0a |end{remu|nerate}.|
|00001960| 4f 66 20 74 68 65 73 65 | 20 66 69 76 65 2c 20 6f |Of these| five, o|
|00001970| 6e 6c 79 20 6d 65 74 68 | 6f 64 73 20 31 20 61 6e |nly meth|ods 1 an|
|00001980| 64 20 35 20 61 72 65 20 | 73 75 69 74 61 62 6c 65 |d 5 are |suitable|
|00001990| 20 66 6f 72 20 63 61 6c | 63 75 6c 61 74 69 6e 67 | for cal|culating|
|000019a0| 20 0a 28 5c 72 65 66 7b | 70 72 6f 62 6c 65 6d 32 | .(\ref{|problem2|
|000019b0| 7d 29 2e 20 54 68 65 20 | 66 69 72 73 74 20 66 6f |}). The |first fo|
|000019c0| 75 72 20 6d 65 74 68 6f | 64 73 20 77 69 6c 6c 20 |ur metho|ds will |
|000019d0| 62 65 20 74 6f 75 63 68 | 65 64 20 6f 6e 20 61 6e |be touch|ed on an|
|000019e0| 64 20 74 68 65 20 0a 6c | 61 73 74 20 77 69 6c 6c |d the .l|ast will|
|000019f0| 20 62 65 20 64 69 73 63 | 75 73 73 65 64 20 61 74 | be disc|ussed at|
|00001a00| 20 6c 65 6e 67 74 68 2e | 0a 0a 0a 5c 73 75 62 73 | length.|...\subs|
|00001a10| 65 63 74 69 6f 6e 7b 53 | 6f 6d 65 20 64 69 73 70 |ection{S|ome disp|
|00001a20| 6c 61 79 65 64 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 73 20 |layed eq|uations |
|00001a30| 61 6e 64 20 7b 5c 74 74 | 20 5c 7b 65 71 6e 61 72 |and {\tt| \{eqnar|
|00001a40| 72 61 79 5c 7d 7d 73 7d | 0a 20 20 20 20 20 42 79 |ray\}}s}|. By|
|00001a50| 20 69 6e 74 72 6f 64 75 | 63 69 6e 67 20 74 68 65 | introdu|cing the|
|00001a60| 20 70 72 6f 64 75 63 74 | 20 74 6f 70 6f 6c 6f 67 | product| topolog|
|00001a70| 79 20 6f 6e 20 20 24 52 | 5e 7b 6d 20 5c 74 69 6d |y on $R|^{m \tim|
|00001a80| 65 73 20 6d 7d 20 5c 74 | 69 6d 65 73 0a 52 5e 7b |es m} \t|imes.R^{|
|00001a90| 6e 20 5c 74 69 6d 65 73 | 20 6e 7d 24 20 20 77 69 |n \times| n}$ wi|
|00001aa0| 74 68 20 74 68 65 20 69 | 6e 64 75 63 65 64 20 69 |th the i|nduced i|
|00001ab0| 6e 6e 65 72 20 70 72 6f | 64 75 63 74 0a 5c 62 65 |nner pro|duct.\be|
|00001ac0| 67 69 6e 7b 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 7d 0a 5c 6c |gin{equa|tion}.\l|
|00001ad0| 61 6e 67 6c 65 20 28 41 | 5f 7b 31 7d 2c 42 5f 7b |angle (A|_{1},B_{|
|00001ae0| 31 7d 29 2c 20 28 41 5f | 7b 32 7d 2c 42 5f 7b 32 |1}), (A_|{2},B_{2|
|00001af0| 7d 29 5c 72 61 6e 67 6c | 65 20 3a 3d 20 5c 6c 61 |})\rangl|e := \la|
|00001b00| 6e 67 6c 65 20 41 5f 7b | 31 7d 2c 41 5f 7b 32 7d |ngle A_{|1},A_{2}|
|00001b10| 5c 72 61 6e 67 6c 65 20 | 0a 2b 20 5c 6c 61 6e 67 |\rangle |.+ \lang|
|00001b20| 6c 65 20 42 5f 7b 31 7d | 2c 42 5f 7b 32 7d 5c 72 |le B_{1}|,B_{2}\r|
|00001b30| 61 6e 67 6c 65 2c 5c 6c | 61 62 65 6c 7b 65 71 32 |angle,\l|abel{eq2|
|00001b40| 2e 31 30 7d 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 71 75 61 74 69 |.10}.\en|d{equati|
|00001b50| 6f 6e 7d 0a 77 65 20 63 | 61 6c 63 75 6c 61 74 65 |on}.we c|alculate|
|00001b60| 20 74 68 65 20 46 72 5c | 27 7b 65 7d 63 68 65 74 | the Fr\|'{e}chet|
|00001b70| 20 64 65 72 69 76 61 74 | 69 76 65 20 6f 66 20 20 | derivat|ive of |
|00001b80| 24 46 24 20 20 61 73 20 | 66 6f 6c 6c 6f 77 73 3a |$F$ as |follows:|
|00001b90| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 65 71 6e 61 72 72 61 79 |.\begin{|eqnarray|
|00001ba0| 7d 0a 20 46 27 28 55 2c | 56 29 28 48 2c 4b 29 20 |}. F'(U,|V)(H,K) |
|00001bb0| 26 3d 26 20 5c 6c 61 6e | 67 6c 65 20 52 28 55 2c |&=& \lan|gle R(U,|
|00001bc0| 56 29 2c 48 5c 53 69 67 | 6d 61 20 56 5e 7b 54 7d |V),H\Sig|ma V^{T}|
|00001bd0| 20 2b 20 55 5c 53 69 67 | 6d 61 20 4b 5e 7b 54 7d | + U\Sig|ma K^{T}|
|00001be0| 20 2d 0a 50 28 48 5c 53 | 69 67 6d 61 20 56 5e 7b | -.P(H\S|igma V^{|
|00001bf0| 54 7d 20 2b 20 55 5c 53 | 69 67 6d 61 20 4b 5e 7b |T} + U\S|igma K^{|
|00001c00| 54 7d 29 5c 72 61 6e 67 | 6c 65 20 5c 6e 6f 6e 75 |T})\rang|le \nonu|
|00001c10| 6d 62 65 72 20 5c 5c 0a | 20 20 20 20 20 20 20 20 |mber \\.| |
|00001c20| 20 26 3d 26 20 5c 6c 61 | 6e 67 6c 65 20 52 28 55 | &=& \la|ngle R(U|
|00001c30| 2c 56 29 2c 48 5c 53 69 | 67 6d 61 20 56 5e 7b 54 |,V),H\Si|gma V^{T|
|00001c40| 7d 20 2b 20 55 5c 53 69 | 67 6d 61 20 4b 5e 7b 54 |} + U\Si|gma K^{T|
|00001c50| 7d 5c 72 61 6e 67 6c 65 | 20 5c 6c 61 62 65 6c 7b |}\rangle| \label{|
|00001c60| 65 71 32 2e 31 31 7d 20 | 5c 5c 0a 26 3d 26 20 5c |eq2.11} |\\.&=& \|
|00001c70| 6c 61 6e 67 6c 65 20 52 | 28 55 2c 56 29 56 5c 53 |langle R|(U,V)V\S|
|00001c80| 69 67 6d 61 5e 7b 54 7d | 2c 48 5c 72 61 6e 67 6c |igma^{T}|,H\rangl|
|00001c90| 65 20 2b 20 5c 6c 61 6e | 67 6c 65 20 5c 53 69 67 |e + \lan|gle \Sig|
|00001ca0| 6d 61 5e 7b 54 7d 55 5e | 7b 54 7d 52 28 55 2c 56 |ma^{T}U^|{T}R(U,V|
|00001cb0| 29 2c 4b 5e 7b 54 7d 5c | 72 61 6e 67 6c 65 2e 20 |),K^{T}\|rangle. |
|00001cc0| 20 20 20 20 5c 6e 6f 6e | 75 6d 62 65 72 0a 5c 65 | \non|umber.\e|
|00001cd0| 6e 64 7b 65 71 6e 61 72 | 72 61 79 7d 0a 49 6e 20 |nd{eqnar|ray}.In |
|00001ce0| 74 68 65 20 6d 69 64 64 | 6c 65 20 6c 69 6e 65 20 |the midd|le line |
|00001cf0| 6f 66 20 28 5c 72 65 66 | 7b 65 71 32 2e 31 31 7d |of (\ref|{eq2.11}|
|00001d00| 29 20 77 65 20 68 61 76 | 65 20 75 73 65 64 20 74 |) we hav|e used t|
|00001d10| 68 65 20 66 61 63 74 20 | 74 68 61 74 20 74 68 65 |he fact |that the|
|00001d20| 20 72 61 6e 67 65 20 6f | 66 0a 24 52 24 20 69 73 | range o|f.$R$ is|
|00001d30| 20 61 6c 77 61 79 73 20 | 70 65 72 70 65 6e 64 69 | always |perpendi|
|00001d40| 63 75 6c 61 72 20 74 6f | 20 74 68 65 20 72 61 6e |cular to| the ran|
|00001d50| 67 65 20 6f 66 20 24 50 | 24 2e 20 20 54 68 65 20 |ge of $P|$. The |
|00001d60| 67 72 61 64 69 65 6e 74 | 20 24 5c 6e 61 62 6c 61 |gradient| $\nabla|
|00001d70| 20 46 24 20 20 6f 66 0a | 24 46 24 2c 20 74 68 65 | F$ of.|$F$, the|
|00001d80| 72 65 66 6f 72 65 2c 20 | 20 6d 61 79 20 62 65 20 |refore, | may be |
|00001d90| 69 6e 74 65 72 70 72 65 | 74 65 64 20 61 73 20 74 |interpre|ted as t|
|00001da0| 68 65 0a 70 61 69 72 20 | 6f 66 20 6d 61 74 72 69 |he.pair |of matri|
|00001db0| 63 65 73 3a 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 75 61 |ces:.\be|gin{equa|
|00001dc0| 74 69 6f 6e 7d 0a 20 5c | 6e 61 62 6c 61 20 46 28 |tion}. \|nabla F(|
|00001dd0| 55 2c 56 29 20 3d 20 28 | 52 28 55 2c 56 29 56 5c |U,V) = (|R(U,V)V\|
|00001de0| 53 69 67 6d 61 5e 7b 54 | 7d 2c 52 28 55 2c 56 29 |Sigma^{T|},R(U,V)|
|00001df0| 5e 7b 54 7d 55 5c 53 69 | 67 6d 61 20 29 20 5c 69 |^{T}U\Si|gma ) \i|
|00001e00| 6e 0a 52 5e 7b 6d 20 5c | 74 69 6d 65 73 20 6d 7d |n.R^{m \|times m}|
|00001e10| 20 5c 74 69 6d 65 73 20 | 52 5e 7b 6e 20 5c 74 69 | \times |R^{n \ti|
|00001e20| 6d 65 73 20 6e 7d 2e 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |mes n}. | |
|00001e30| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 | | |
|00001e40| 20 20 5c 6c 61 62 65 6c | 7b 65 71 32 2e 31 32 7d | \label|{eq2.12}|
|00001e50| 0a 5c 65 6e 64 7b 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 7d 0a |.\end{eq|uation}.|
|00001e60| 42 65 63 61 75 73 65 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 70 |Because |of the p|
|00001e70| 72 6f 64 75 63 74 20 74 | 6f 70 6f 6c 6f 67 79 2c |roduct t|opology,|
|00001e80| 20 77 65 20 6b 6e 6f 77 | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | we know|.\begin{|
|00001e90| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 7d 0a 20 7b 5c 63 61 6c |equation|}. {\cal|
|00001ea0| 20 54 7d 5f 7b 28 55 2c | 56 29 7d 28 7b 5c 63 61 | T}_{(U,|V)}({\ca|
|00001eb0| 6c 20 4f 7d 20 28 6d 29 | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |l O} (m)| \times |
|00001ec0| 7b 5c 63 61 6c 20 4f 7d | 20 28 6e 29 29 20 3d 0a |{\cal O}| (n)) =.|
|00001ed0| 7b 5c 63 61 6c 20 54 7d | 5f 7b 55 7d 7b 5c 63 61 |{\cal T}|_{U}{\ca|
|00001ee0| 6c 20 4f 7d 20 28 6d 29 | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |l O} (m)| \times |
|00001ef0| 7b 5c 63 61 6c 20 54 7d | 5f 7b 56 7d 7b 5c 63 61 |{\cal T}|_{V}{\ca|
|00001f00| 6c 20 4f 7d 20 28 6e 29 | 2c 20 20 20 20 20 20 20 |l O} (n)|, |
|00001f10| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 5c 6c 61 62 65 6c 7b 65 | |\label{e|
|00001f20| 71 32 2e 31 33 7d 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 71 75 61 |q2.13}.\|end{equa|
|00001f30| 74 69 6f 6e 7d 0a 77 68 | 65 72 65 20 20 24 7b 5c |tion}.wh|ere ${\|
|00001f40| 63 61 6c 20 54 7d 5f 7b | 28 55 2c 56 29 7d 28 7b |cal T}_{|(U,V)}({|
|00001f50| 5c 63 61 6c 20 4f 7d 20 | 28 6d 29 20 5c 74 69 6d |\cal O} |(m) \tim|
|00001f60| 65 73 20 7b 5c 63 61 6c | 20 4f 7d 20 28 6e 29 29 |es {\cal| O} (n))|
|00001f70| 24 20 20 73 74 61 6e 64 | 73 20 66 6f 72 20 74 68 |$ stand|s for th|
|00001f80| 65 0a 74 61 6e 67 65 6e | 74 20 73 70 61 63 65 20 |e.tangen|t space |
|00001f90| 74 6f 20 74 68 65 20 6d | 61 6e 69 66 6f 6c 64 20 |to the m|anifold |
|00001fa0| 20 24 7b 5c 63 61 6c 20 | 4f 7d 20 28 6d 29 20 5c | ${\cal |O} (m) \|
|00001fb0| 74 69 6d 65 73 20 7b 5c | 63 61 6c 20 4f 7d 20 28 |times {\|cal O} (|
|00001fc0| 6e 29 24 20 20 61 74 20 | 20 24 28 55 2c 56 29 0a |n)$ at | $(U,V).|
|00001fd0| 5c 69 6e 20 7b 5c 63 61 | 6c 20 4f 7d 20 28 6d 29 |\in {\ca|l O} (m)|
|00001fe0| 20 5c 74 69 6d 65 73 20 | 7b 5c 63 61 6c 20 4f 7d | \times |{\cal O}|
|00001ff0| 20 28 6e 29 24 20 20 61 | 6e 64 20 73 6f 20 6f 6e | (n)$ a|nd so on|
|00002000| 2e 20 20 54 68 65 20 70 | 72 6f 6a 65 63 74 69 6f |. The p|rojectio|
|00002010| 6e 20 6f 66 0a 24 5c 6e | 61 62 6c 61 20 46 28 55 |n of.$\n|abla F(U|
|00002020| 2c 56 29 24 20 20 6f 6e | 74 6f 20 20 24 7b 5c 63 |,V)$ on|to ${\c|
|00002030| 61 6c 20 54 7d 5f 7b 28 | 55 2c 56 29 7d 28 7b 5c |al T}_{(|U,V)}({\|
|00002040| 63 61 6c 20 4f 7d 20 28 | 6d 29 20 5c 74 69 6d 65 |cal O} (|m) \time|
|00002050| 73 20 7b 5c 63 61 6c 20 | 4f 7d 20 28 6e 29 29 24 |s {\cal |O} (n))$|
|00002060| 2c 0a 74 68 65 72 65 66 | 6f 72 65 2c 20 69 73 20 |,.theref|ore, is |
|00002070| 74 68 65 20 70 72 6f 64 | 75 63 74 20 6f 66 20 74 |the prod|uct of t|
|00002080| 68 65 20 70 72 6f 6a 65 | 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 |he proje|ction of|
|00002090| 20 74 68 65 20 66 69 72 | 73 74 20 63 6f 6d 70 6f | the fir|st compo|
|000020a0| 6e 65 6e 74 20 6f 66 0a | 24 5c 6e 61 62 6c 61 20 |nent of.|$\nabla |
|000020b0| 46 28 55 2c 56 29 24 20 | 20 6f 6e 74 6f 20 20 24 |F(U,V)$ | onto $|
|000020c0| 7b 5c 63 61 6c 20 54 7d | 5f 7b 55 7d 7b 5c 63 61 |{\cal T}|_{U}{\ca|
|000020d0| 6c 20 4f 7d 20 28 6d 29 | 24 20 20 61 6e 64 20 74 |l O} (m)|$ and t|
|000020e0| 68 65 20 70 72 6f 6a 65 | 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 |he proje|ction of|
|000020f0| 20 74 68 65 0a 73 65 63 | 6f 6e 64 20 63 6f 6d 70 | the.sec|ond comp|
|00002100| 6f 6e 65 6e 74 20 6f 66 | 20 20 24 5c 6e 61 62 6c |onent of| $\nabl|
|00002110| 61 20 46 28 55 2c 56 29 | 24 20 20 6f 6e 74 6f 20 |a F(U,V)|$ onto |
|00002120| 20 24 7b 5c 63 61 6c 20 | 54 7d 5f 7b 56 7d 7b 5c | ${\cal |T}_{V}{\|
|00002130| 63 61 6c 20 4f 7d 20 28 | 6e 29 24 2e 20 0a 49 6e |cal O} (|n)$. .In|
|00002140| 20 70 61 72 74 69 63 75 | 6c 61 72 2c 20 77 65 20 | particu|lar, we |
|00002150| 63 6c 61 69 6d 20 74 68 | 61 74 20 74 68 65 0a 70 |claim th|at the.p|
|00002160| 72 6f 6a 65 63 74 69 6f | 6e 20 24 20 67 28 55 2c |rojectio|n $ g(U,|
|00002170| 56 29 24 20 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 67 72 61 64 |V)$ of |the grad|
|00002180| 69 65 6e 74 20 20 24 5c | 6e 61 62 6c 61 20 46 28 |ient $\|nabla F(|
|00002190| 55 2c 56 29 24 20 20 6f | 6e 74 6f 0a 24 7b 5c 63 |U,V)$ o|nto.${\c|
|000021a0| 61 6c 20 54 7d 5f 7b 28 | 55 2c 56 29 7d 28 7b 5c |al T}_{(|U,V)}({\|
|000021b0| 63 61 6c 20 4f 7d 20 28 | 6d 29 20 5c 74 69 6d 65 |cal O} (|m) \time|
|000021c0| 73 20 7b 5c 63 61 6c 20 | 4f 7d 20 28 6e 29 29 24 |s {\cal |O} (n))$|
|000021d0| 20 20 69 73 20 67 69 76 | 65 6e 20 62 79 20 74 68 | is giv|en by th|
|000021e0| 65 20 70 61 69 72 20 6f | 66 0a 6d 61 74 72 69 63 |e pair o|f.matric|
|000021f0| 65 73 3a 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 65 71 6e 61 72 |es:.\beg|in{eqnar|
|00002200| 72 61 79 7d 0a 67 28 55 | 2c 56 29 20 3d 20 26 26 |ray}.g(U|,V) = &&|
|00002210| 20 5c 6c 65 66 74 28 20 | 5c 66 72 61 63 7b 52 28 | \left( |\frac{R(|
|00002220| 55 2c 56 29 56 5c 53 69 | 67 6d 61 5e 7b 54 7d 55 |U,V)V\Si|gma^{T}U|
|00002230| 5e 7b 54 7d 2d 55 5c 53 | 69 67 6d 61 20 56 5e 7b |^{T}-U\S|igma V^{|
|00002240| 54 7d 52 28 55 2c 56 29 | 5e 7b 54 7d 7d 7b 32 7d |T}R(U,V)|^{T}}{2}|
|00002250| 55 2c 0a 5c 72 69 67 68 | 74 2e 20 20 20 20 20 20 |U,.\righ|t. |
|00002260| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 | | |
|00002270| 20 20 20 5c 6e 6f 6e 75 | 6d 62 65 72 20 5c 5c 5b | \nonu|mber \\[|
|00002280| 2d 31 2e 35 65 78 5d 0a | 5c 6c 61 62 65 6c 7b 65 |-1.5ex].|\label{e|
|00002290| 71 32 2e 31 34 7d 5c 5c | 5b 2d 31 2e 35 65 78 5d |q2.14}\\|[-1.5ex]|
|000022a0| 0a 26 26 5c 71 75 61 64 | 20 5c 6c 65 66 74 2e 20 |.&&\quad| \left. |
|000022b0| 5c 66 72 61 63 7b 52 28 | 55 2c 56 29 5e 7b 54 7d |\frac{R(|U,V)^{T}|
|000022c0| 55 5c 53 69 67 6d 61 20 | 56 5e 7b 54 7d 2d 56 0a |U\Sigma |V^{T}-V.|
|000022d0| 20 20 20 5c 53 69 67 6d | 61 5e 7b 54 7d 55 5e 7b | \Sigm|a^{T}U^{|
|000022e0| 54 7d 52 28 55 2c 56 29 | 7d 7b 32 7d 56 20 5c 72 |T}R(U,V)|}{2}V \r|
|000022f0| 69 67 68 74 29 2e 5c 6e | 6f 6e 75 6d 62 65 72 0a |ight).\n|onumber.|
|00002300| 5c 65 6e 64 7b 65 71 6e | 61 72 72 61 79 7d 0a 54 |\end{eqn|array}.T|
|00002310| 68 75 73 2c 20 74 68 65 | 20 76 65 63 74 6f 72 20 |hus, the| vector |
|00002320| 66 69 65 6c 64 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 65 71 75 |field.\b|egin{equ|
|00002330| 61 74 69 6f 6e 7d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 64 28 55 |ation}.\|frac{d(U|
|00002340| 2c 56 29 7d 7b 64 74 7d | 20 3d 20 2d 67 28 55 2c |,V)}{dt}| = -g(U,|
|00002350| 56 29 20 20 20 20 20 5c | 6c 61 62 65 6c 7b 65 71 |V) \|label{eq|
|00002360| 32 2e 31 35 7d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 65 71 75 61 74 |2.15}.\e|nd{equat|
|00002370| 69 6f 6e 7d 0a 64 65 66 | 69 6e 65 73 20 61 20 73 |ion}.def|ines a s|
|00002380| 74 65 65 70 65 73 74 20 | 64 65 73 63 65 6e 74 20 |teepest |descent |
|00002390| 66 6c 6f 77 20 6f 6e 20 | 74 68 65 20 6d 61 6e 69 |flow on |the mani|
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|000023b0| 28 6d 29 20 5c 74 69 6d | 65 73 0a 7b 5c 63 61 6c |(m) \tim|es.{\cal|
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|00002ad0| 6c 65 71 20 42 0a 20 20 | 20 28 20 68 5e 7b 71 2d |leq B. | ( h^{q-|
|00002ae0| 33 2f 32 7d 20 2b 20 5c | 7c 20 5c 65 70 73 69 6c |3/2} + \|| \epsil|
|00002af0| 6f 6e 20 28 74 29 20 5c | 7c 5f 7b 31 2c 32 7d 29 |on (t) \||_{1,2})|
|00002b00| 5c 3b 2e 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 71 75 61 74 69 6f |\;..\end|{equatio|
|00002b10| 6e 7d 0a 54 68 65 20 66 | 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 |n}.The f|unction |
|00002b20| 24 42 28 54 29 24 20 63 | 61 6e 20 62 65 20 63 68 |$B(T)$ c|an be ch|
|00002b30| 6f 73 65 6e 20 74 6f 20 | 62 65 20 6e 6f 6e 64 65 |osen to |be nonde|
|00002b40| 63 72 65 61 73 69 6e 67 | 20 69 6e 20 74 69 6d 65 |creasing| in time|
|00002b50| 2e 0a 5c 65 6e 64 7b 6c | 65 6d 6d 61 7d 0a 20 0a |..\end{l|emma}. .|
|00002b60| 20 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 74 68 65 6f 72 65 6d | .\begin|{theorem|
|00002b70| 7d 20 0a 5c 6c 61 62 65 | 6c 7b 74 68 3a 67 69 62 |} .\labe|l{th:gib|
|00002b80| 73 6f 6e 7d 20 0a 54 68 | 65 20 6d 61 78 69 6d 75 |son} .Th|e maximu|
|00002b90| 6d 20 6e 75 6d 62 65 72 | 20 6f 66 20 6e 6f 6e 7a |m number| of nonz|
|00002ba0| 65 72 6f 20 65 6e 74 72 | 69 65 73 20 69 6e 20 61 |ero entr|ies in a|
|00002bb0| 20 7b 5c 72 6d 20 53 4e | 53 7d 2d 6d 61 74 72 69 | {\rm SN|S}-matri|
|00002bc0| 78 0a 24 53 24 20 6f 66 | 20 6f 72 64 65 72 20 24 |x.$S$ of| order $|
|00002bd0| 6e 24 20 65 71 75 61 6c | 73 20 5c 5b 5c 66 72 61 |n$ equal|s \[\fra|
|00002be0| 63 7b 6e 5e 7b 32 7d 2b | 33 6e 2d 32 7d 7b 32 7d |c{n^{2}+|3n-2}{2}|
|00002bf0| 5c 5d 20 77 69 74 68 0a | 65 71 75 61 6c 69 74 79 |\] with.|equality|
|00002c00| 20 69 66 20 61 6e 64 20 | 6f 6e 6c 79 20 69 66 20 | if and |only if |
|00002c10| 74 68 65 72 65 20 65 78 | 69 73 74 20 70 65 72 6d |there ex|ist perm|
|00002c20| 75 74 61 74 69 6f 6e 20 | 6d 61 74 72 69 63 65 73 |utation |matrices|
|00002c30| 0a 73 75 63 68 20 74 68 | 61 74 20 24 50 7c 53 7c |.such th|at $P|S||
|00002c40| 51 3d 54 5f 7b 6e 7d 24 | 20 77 68 65 72 65 0a 5c |Q=T_{n}$| where.\|
|00002c50| 62 65 67 69 6e 7b 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 7d 20 |begin{eq|uation} |
|00002c60| 0a 5c 6c 61 62 65 6c 7b | 65 71 3a 67 69 62 73 6f |.\label{|eq:gibso|
|00002c70| 6e 7d 20 0a 54 5f 7b 6e | 7d 3d 5c 6c 65 66 74 5b |n} .T_{n|}=\left[|
|00002c80| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 63 |\begin{a|rray}{cc|
|00002c90| 63 63 63 63 7d 20 31 26 | 31 26 5c 63 64 6f 74 73 |cccc} 1&|1&\cdots|
|00002ca0| 26 31 26 31 26 31 5c 5c | 0a 31 26 31 26 5c 63 64 |&1&1&1\\|.1&1&\cd|
|00002cb0| 6f 74 73 26 31 26 31 26 | 31 5c 5c 20 30 26 31 26 |ots&1&1&|1\\ 0&1&|
|00002cc0| 5c 63 64 6f 74 73 26 31 | 26 31 26 31 5c 5c 20 0a |\cdots&1|&1&1\\ .|
|00002cd0| 5c 76 64 6f 74 73 26 5c | 76 64 6f 74 73 26 5c 64 |\vdots&\|vdots&\d|
|00002ce0| 64 6f 74 73 26 5c 76 64 | 6f 74 73 26 5c 76 64 6f |dots&\vd|ots&\vdo|
|00002cf0| 74 73 26 5c 76 64 6f 74 | 73 5c 5c 20 0a 30 26 30 |ts&\vdot|s\\ .0&0|
|00002d00| 26 5c 63 64 6f 74 73 26 | 31 26 31 26 31 5c 5c 20 |&\cdots&|1&1&1\\ |
|00002d10| 30 26 30 26 5c 63 64 6f | 74 73 26 30 26 31 26 31 |0&0&\cdo|ts&0&1&1|
|00002d20| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 5c 72 69 67 68 |\end{arr|ay}\righ|
|00002d30| 74 5d 2e 20 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 71 75 61 74 69 |t]. .\en|d{equati|
|00002d40| 6f 6e 7d 20 0a 5c 65 6e | 64 7b 74 68 65 6f 72 65 |on} .\en|d{theore|
|00002d50| 6d 7d 20 0a 20 0a 57 65 | 20 6e 6f 74 65 20 66 6f |m} . .We| note fo|
|00002d60| 72 20 6c 61 74 65 72 20 | 75 73 65 20 74 68 61 74 |r later |use that|
|00002d70| 20 65 61 63 68 20 73 75 | 62 6d 61 74 72 69 78 20 | each su|bmatrix |
|00002d80| 6f 66 20 24 54 5f 7b 6e | 7d 24 20 6f 66 0a 6f 72 |of $T_{n|}$ of.or|
|00002d90| 64 65 72 20 24 6e 2d 31 | 24 20 68 61 73 20 61 6c |der $n-1|$ has al|
|00002da0| 6c 20 31 73 20 6f 6e 20 | 69 74 73 20 6d 61 69 6e |l 1s on |its main|
|00002db0| 20 64 69 61 67 6f 6e 61 | 6c 2e 20 0a 20 0a 57 65 | diagona|l. . .We|
|00002dc0| 20 6e 6f 77 20 6f 62 74 | 61 69 6e 20 61 20 62 6f | now obt|ain a bo|
|00002dd0| 75 6e 64 20 6f 6e 20 74 | 68 65 20 6e 75 6d 62 65 |und on t|he numbe|
|00002de0| 72 20 6f 66 20 6e 6f 6e | 7a 65 72 6f 20 65 6e 74 |r of non|zero ent|
|00002df0| 72 69 65 73 20 6f 66 0a | 24 53 24 20 69 6e 20 61 |ries of.|$S$ in a|
|00002e00| 20 53 4e 53 2d 6d 61 74 | 72 69 78 20 70 61 69 72 | SNS-mat|rix pair|
|00002e10| 20 24 28 53 2c 43 29 24 | 20 69 6e 20 74 65 72 6d | $(S,C)$| in term|
|00002e20| 73 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 64 65 67 72 65 65 20 |s of the| degree |
|00002e30| 6f 66 0a 74 68 65 20 69 | 6e 64 69 63 61 74 6f 72 |of.the i|ndicator|
|00002e40| 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d | 69 61 6c 2e 20 57 65 20 | polynom|ial. We |
|00002e50| 64 65 6e 6f 74 65 20 74 | 68 65 20 73 74 72 69 63 |denote t|he stric|
|00002e60| 74 6c 79 20 75 70 70 65 | 72 0a 74 72 69 61 6e 67 |tly uppe|r.triang|
|00002e70| 75 6c 61 72 20 28 30 2c | 31 29 2d 6d 61 74 72 69 |ular (0,|1)-matri|
|00002e80| 78 20 6f 66 20 6f 72 64 | 65 72 20 24 6d 24 20 77 |x of ord|er $m$ w|
|00002e90| 69 74 68 20 61 6c 6c 20 | 31 73 20 61 62 6f 76 65 |ith all |1s above|
|00002ea0| 20 74 68 65 0a 6d 61 69 | 6e 20 64 69 61 67 6f 6e | the.mai|n diagon|
|00002eb0| 61 6c 20 62 79 20 24 55 | 5f 7b 6d 7d 24 2e 20 54 |al by $U|_{m}$. T|
|00002ec0| 68 65 20 61 6c 6c 20 31 | 73 20 6d 61 74 72 69 78 |he all 1|s matrix|
|00002ed0| 20 6f 66 20 73 69 7a 65 | 20 24 6d 24 20 62 79 0a | of size| $m$ by.|
|00002ee0| 24 70 24 20 69 73 20 64 | 65 6e 6f 74 65 64 20 62 |$p$ is d|enoted b|
|00002ef0| 79 20 24 4a 5f 7b 6d 2c | 70 7d 24 2e 0a 20 0a 20 |y $J_{m,|p}$.. . |
|00002f00| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 70 72 6f 70 6f 73 69 74 |.\begin{|proposit|
|00002f10| 69 6f 6e 7d 5b 7b 5c 72 | 6d 20 43 6f 6e 76 6f 6c |ion}[{\r|m Convol|
|00002f20| 75 74 69 6f 6e 20 74 68 | 65 6f 72 65 6d 7d 5d 0a |ution th|eorem}].|
|00002f30| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 70 | 72 6f 3a 32 2e 31 7d 20 |\label{p|ro:2.1} |
|00002f40| 20 4c 65 74 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 | Let.\be|gin{eqna|
|00002f50| 72 72 61 79 2a 7d 0a 61 | 5c 61 73 74 20 75 28 74 |rray*}.a|\ast u(t|
|00002f60| 29 20 3d 20 5c 69 6e 74 | 5f 30 5e 74 20 61 28 74 |) = \int|_0^t a(t|
|00002f70| 2d 20 5c 74 61 75 29 20 | 75 28 5c 74 61 75 29 20 |- \tau) |u(\tau) |
|00002f80| 64 5c 74 61 75 2c 20 5c | 68 73 70 61 63 65 7b 2e |d\tau, \|hspace{.|
|00002f90| 32 69 6e 7d 20 74 20 5c | 69 6e 0a 28 30 2c 20 5c |2in} t \|in.(0, \|
|00002fa0| 69 6e 66 74 79 29 2e 0a | 5c 65 6e 64 7b 65 71 6e |infty)..|\end{eqn|
|00002fb0| 61 72 72 61 79 2a 7d 0a | 54 68 65 6e 0a 5c 62 65 |array*}.|Then.\be|
|00002fc0| 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 | 72 72 61 79 2a 7d 0a 5c |gin{eqna|rray*}.\|
|00002fd0| 77 69 64 65 68 61 74 7b | 61 5c 61 73 74 20 75 7d |widehat{|a\ast u}|
|00002fe0| 28 73 29 20 3d 20 5c 77 | 69 64 65 68 61 74 7b 61 |(s) = \w|idehat{a|
|00002ff0| 7d 28 73 29 5c 77 69 64 | 65 68 61 74 7b 75 7d 28 |}(s)\wid|ehat{u}(|
|00003000| 73 29 2e 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |s)..\end|{eqnarra|
|00003010| 79 2a 7d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 70 72 6f 70 6f 73 69 |y*}.\end|{proposi|
|00003020| 74 69 6f 6e 7d 0a 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 6c 65 |tion}..\|begin{le|
|00003030| 6d 6d 61 7d 0a 5c 6c 61 | 62 65 6c 7b 6c 65 6d 3a |mma}.\la|bel{lem:|
|00003040| 33 2e 31 7d 0a 46 6f 72 | 20 24 73 5f 30 20 3e 30 |3.1}.For| $s_0 >0|
|00003050| 24 2c 20 69 66 0a 24 24 | 0a 5c 69 6e 74 5f 30 5e |$, if.$$|.\int_0^|
|00003060| 7b 5c 69 6e 66 74 79 7d | 20 65 5e 7b 2d 32 73 5f |{\infty}| e^{-2s_|
|00003070| 30 20 74 7d 76 5e 7b 28 | 31 29 7d 28 74 29 20 76 |0 t}v^{(|1)}(t) v|
|00003080| 28 74 29 20 64 74 20 5c | 3b 20 5c 6c 65 71 20 30 |(t) dt \|; \leq 0|
|00003090| 20 5c 3b 2c 0a 24 24 0a | 74 68 65 6e 0a 5c 62 65 | \;,.$$.|then.\be|
|000030a0| 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 | 72 72 61 79 2a 7d 0a 5c |gin{eqna|rray*}.\|
|000030b0| 69 6e 74 5f 30 5e 7b 5c | 69 6e 66 74 79 7d 20 65 |int_0^{\|infty} e|
|000030c0| 5e 7b 2d 32 73 5f 30 20 | 74 7d 20 76 5e 32 28 74 |^{-2s_0 |t} v^2(t|
|000030d0| 29 20 64 74 20 5c 3b 20 | 5c 6c 65 71 20 5c 3b 20 |) dt \; |\leq \; |
|000030e0| 5c 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 32 73 5f 30 7d 20 76 |\frac{1}|{2s_0} v|
|000030f0| 5e 32 28 30 29 2e 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 71 6e 61 |^2(0)..\|end{eqna|
|00003100| 72 72 61 79 2a 7d 0a 5c | 65 6e 64 7b 6c 65 6d 6d |rray*}.\|end{lemm|
|00003110| 61 7d 0a 0a 7b 5c 65 6d | 20 50 72 6f 6f 66 7d 2e |a}..{\em| Proof}.|
|00003120| 20 41 70 70 6c 79 69 6e | 67 20 69 6e 74 65 67 72 | Applyin|g integr|
|00003130| 61 74 69 6f 6e 20 62 79 | 20 70 61 72 74 73 2c 20 |ation by| parts, |
|00003140| 77 65 20 6f 62 74 61 69 | 6e 0a 5c 62 65 67 69 6e |we obtai|n.\begin|
|00003150| 7b 65 71 6e 61 72 72 61 | 79 2a 7d 0a 5c 69 6e 74 |{eqnarra|y*}.\int|
|00003160| 5f 30 5e 7b 5c 69 6e 66 | 74 79 7d 20 65 5e 7b 2d |_0^{\inf|ty} e^{-|
|00003170| 32 73 5f 30 20 74 7d 20 | 5b 76 5e 32 28 74 29 2d |2s_0 t} |[v^2(t)-|
|00003180| 76 5e 32 28 30 29 5d 20 | 64 74 0a 26 3d 26 5c 6c |v^2(0)] |dt.&=&\l|
|00003190| 69 6d 5f 7b 74 5c 72 69 | 67 68 74 61 72 72 6f 77 |im_{t\ri|ghtarrow|
|000031a0| 20 5c 69 6e 66 74 79 7d | 5c 6c 65 66 74 20 28 0a | \infty}|\left (.|
|000031b0| 2d 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 32 73 5f 30 7d 65 |-\frac{1|}{2s_0}e|
|000031c0| 5e 7b 2d 32 73 5f 30 20 | 74 7d 76 5e 32 28 74 29 |^{-2s_0 |t}v^2(t)|
|000031d0| 20 5c 72 69 67 68 74 20 | 29 20 2b 5c 66 72 61 63 | \right |) +\frac|
|000031e0| 7b 31 7d 7b 73 5f 30 7d | 0a 5c 69 6e 74 5f 30 5e |{1}{s_0}|.\int_0^|
|000031f0| 7b 5c 69 6e 66 74 79 7d | 20 65 5e 7b 2d 32 73 5f |{\infty}| e^{-2s_|
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|00003210| 74 29 64 74 5c 5c 0a 26 | 5c 6c 65 71 26 20 5c 66 |t)dt\\.&|\leq& \f|
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|00003250| 74 29 76 28 74 29 20 64 | 74 20 5c 3b 5c 3b 0a 5c |t)v(t) d|t \;\;.\|
|00003260| 6c 65 71 20 5c 3b 5c 3b | 20 30 2e 0a 5c 65 6e 64 |leq \;\;| 0..\end|
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|00003290| 74 79 7d 20 65 5e 7b 2d | 32 73 5f 30 20 74 7d 20 |ty} e^{-|2s_0 t} |
|000032a0| 76 5e 32 28 74 29 20 64 | 74 20 5c 3b 5c 3b 5c 6c |v^2(t) d|t \;\;\l|
|000032b0| 65 71 20 76 5e 32 28 30 | 29 20 5c 69 6e 74 5f 30 |eq v^2(0|) \int_0|
|000032c0| 5e 7b 5c 69 6e 66 74 79 | 7d 0a 5c 3b 5c 3b 65 5e |^{\infty|}.\;\;e^|
|000032d0| 7b 2d 32 73 5f 30 20 74 | 7d 20 64 74 5c 3b 5c 3b |{-2s_0 t|} dt\;\;|
|000032e0| 3d 5c 3b 5c 3b 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 32 73 |=\;\;\fr|ac{1}{2s|
|000032f0| 5f 30 7d 20 76 5e 32 28 | 30 29 2e 5c 65 71 6e 6f |_0} v^2(|0).\eqno|
|00003300| 5c 65 6e 64 70 72 6f 6f | 66 0a 24 24 0a 0a 5c 62 |\endproo|f.$$..\b|
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|00003320| 6c 61 62 65 6c 7b 63 34 | 2e 31 7d 0a 4c 65 74 20 |label{c4|.1}.Let |
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|00003340| 20 24 28 35 29 24 2d 2d | 24 28 36 29 24 20 61 6e | $(5)$--|$(6)$ an|
|00003350| 64 0a 73 75 70 70 6f 73 | 65 20 24 20 5c 62 66 45 |d.suppos|e $ \bfE|
|00003360| 5e 68 20 24 20 73 61 74 | 69 73 66 69 65 73 20 24 |^h $ sat|isfies $|
|00003370| 28 37 29 24 20 61 6e 64 | 20 24 28 38 29 24 0a 77 |(7)$ and| $(8)$.w|
|00003380| 69 74 68 20 61 20 67 65 | 6e 65 72 61 6c 20 24 20 |ith a ge|neral $ |
|00003390| 5c 62 66 47 20 24 2e 20 | 20 4c 65 74 20 24 20 5c |\bfG $. | Let $ \|
|000033a0| 62 66 47 3d 20 5c 6e 61 | 62 6c 61 20 5c 74 69 6d |bfG= \na|bla \tim|
|000033b0| 65 73 20 7b 5c 62 66 20 | 5c 50 68 69 7d 20 2b 20 |es {\bf |\Phi} + |
|000033c0| 5c 6e 61 62 6c 61 20 70 | 2c 24 0a 24 70 20 5c 69 |\nabla p|,$.$p \i|
|000033d0| 6e 20 48 5f 30 5e 31 20 | 28 5c 4f 6d 65 67 61 29 |n H_0^1 |(\Omega)|
|000033e0| 20 24 2e 20 53 75 70 70 | 6f 73 65 20 74 68 61 74 | $. Supp|ose that|
|000033f0| 20 24 5c 6e 61 62 6c 61 | 20 70 24 20 61 6e 64 20 | $\nabla| p$ and |
|00003400| 24 20 5c 6e 61 62 6c 61 | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |$ \nabla| \times |
|00003410| 0a 7b 5c 62 66 20 5c 50 | 68 69 7d 20 24 20 73 61 |.{\bf \P|hi} $ sa|
|00003420| 74 69 73 66 79 20 61 6c | 6c 20 74 68 65 20 61 73 |tisfy al|l the as|
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|00003440| 6f 72 65 6d 73 20 24 34 | 2e 31 24 20 61 6e 64 20 |orems $4|.1$ and |
|00003450| 20 0a 24 34 2e 32 24 2c | 20 72 65 73 70 65 63 74 | .$4.2$,| respect|
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|000034e0| 6e 64 20 24 20 30 20 3c | 20 5c 65 70 73 69 6c 6f |nd $ 0 <| \epsilo|
|000034f0| 6e 20 5c 6c 65 20 5c 65 | 70 73 69 6c 6f 6e 5f 30 |n \le \e|psilon_0|
|00003500| 20 24 20 74 68 65 72 65 | 20 65 78 69 73 74 73 20 | $ there| exists |
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|00003590| 70 65 6e 64 73 20 6f 6e | 20 74 68 65 20 63 6f 6e |pends on| the con|
|000035a0| 73 74 61 6e 74 73 20 67 | 69 76 65 6e 20 69 6e 20 |stants g|iven in |
|000035b0| 54 68 65 6f 72 65 6d 73 | 20 0a 24 34 2e 31 24 20 |Theorems| .$4.1$ |
|000035c0| 61 6e 64 20 24 34 2e 32 | 24 2e 0a 5c 65 6e 64 7b |and $4.2|$..\end{|
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|000035f0| 7b 5c 72 6d 20 4c 65 74 | 20 24 53 24 20 62 65 20 |{\rm Let| $S$ be |
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|00003640| 65 6d 20 69 6e 64 65 78 | 20 70 61 69 72 7d 20 66 |em index| pair} f|
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|000036d0| 7d 20 5c 62 61 63 6b 73 | 6c 61 73 68 20 4e 5f 7b |} \backs|lash N_{|
|000036e0| 30 7d 29 24 0a 69 73 20 | 61 6e 20 69 73 6f 6c 61 |0})$.is |an isola|
|000036f0| 74 69 6e 67 20 6e 65 69 | 67 68 62 6f 72 68 6f 6f |ting nei|ghborhoo|
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|00003720| 74 69 76 65 6c 79 20 69 | 6e 76 61 72 69 61 6e 74 |tively i|nvariant|
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|00003780| 65 74 20 4e 24 2c 20 74 | 68 65 6e 20 24 78 20 5c |et N$, t|hen $x \|
|00003790| 63 64 6f 74 20 5b 30 2c | 74 5d 20 5c 73 75 62 73 |cdot [0,|t] \subs|
|000037a0| 65 74 0a 4e 5f 7b 69 7d | 24 2e 0a 5c 69 74 65 6d |et.N_{i}|$..\item|
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|000037c0| 78 69 74 20 73 65 74 20 | 66 6f 72 20 24 4e 5f 7b |xit set |for $N_{|
|000037d0| 31 7d 24 2c 20 69 2e 65 | 2e 20 69 66 20 24 78 20 |1}$, i.e|. if $x |
|000037e0| 5c 69 6e 20 4e 5f 7b 31 | 7d 24 2c 0a 24 78 20 5c |\in N_{1|}$,.$x \|
|000037f0| 63 64 6f 74 20 5b 30 2c | 20 5c 69 6e 66 74 79 20 |cdot [0,| \infty |
|00003800| 29 20 5c 6e 6f 74 5c 73 | 75 62 73 65 74 20 4e 5f |) \not\s|ubset N_|
|00003810| 7b 31 7d 24 2c 20 74 68 | 65 6e 20 74 68 65 72 65 |{1}$, th|en there|
|00003820| 20 69 73 20 61 20 24 54 | 20 5c 67 65 71 20 30 24 | is a $T| \geq 0$|
|00003830| 20 73 75 63 68 0a 74 68 | 61 74 20 24 78 20 5c 63 | such.th|at $x \c|
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|00003860| 5c 63 64 6f 74 20 54 20 | 5c 69 6e 20 4e 5f 7b 30 |\cdot T |\in N_{0|
|00003870| 7d 24 2e 0a 5c 65 6e 64 | 7b 72 6f 6d 61 6e 6e 75 |}$..\end|{romannu|
|00003880| 6d 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 64 65 66 69 6e 69 74 |m}}.\end|{definit|
|00003890| 69 6f 6e 7d 0a 0a 5c 73 | 75 62 73 65 63 74 69 6f |ion}..\s|ubsectio|
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|00004020| 73 20 61 72 65 20 73 68 | 6f 77 6e 20 69 6e 20 46 |s are sh|own in F|
|00004030| 69 67 2e 7e 5c 72 65 66 | 7b 64 69 66 66 7d 2e 20 |ig.~\ref|{diff}. |
|00004040| 20 0a 49 6e 20 46 69 67 | 2e 7e 5c 72 65 66 7b 64 | .In Fig|.~\ref{d|
|00004050| 69 66 66 7d 2c 20 74 68 | 65 20 74 6f 70 20 63 75 |iff}, th|e top cu|
|00004060| 72 76 65 20 77 61 73 20 | 70 72 6f 64 75 63 65 64 |rve was |produced|
|00004070| 20 62 79 20 6d 65 74 68 | 6f 64 20 46 44 31 2e 20 | by meth|od FD1. |
|00004080| 0a 54 68 65 20 73 65 63 | 6f 6e 64 20 63 75 72 76 |.The sec|ond curv|
|00004090| 65 20 66 72 6f 6d 20 74 | 68 65 20 74 6f 70 20 69 |e from t|he top i|
|000040a0| 73 20 61 63 74 75 61 6c | 6c 79 20 61 20 73 75 70 |s actual|ly a sup|
|000040b0| 65 72 70 6f 73 69 74 69 | 6f 6e 20 6f 66 20 20 0a |erpositi|on of .|
|000040c0| 74 68 65 20 63 75 72 76 | 65 73 20 70 72 6f 64 75 |the curv|es produ|
|000040d0| 63 65 64 20 62 79 20 6d | 65 74 68 6f 64 73 20 45 |ced by m|ethods E|
|000040e0| 48 41 32 20 61 6e 64 20 | 46 44 32 3b 20 74 68 65 |HA2 and |FD2; the|
|000040f0| 20 74 77 6f 20 63 75 72 | 76 65 73 20 61 72 65 20 | two cur|ves are |
|00004100| 0a 76 69 73 75 61 6c 6c | 79 20 69 6e 64 69 73 74 |.visuall|y indist|
|00004110| 69 6e 67 75 69 73 68 61 | 62 6c 65 2e 20 53 69 6d |inguisha|ble. Sim|
|00004120| 69 6c 61 72 6c 79 2c 20 | 74 68 65 20 74 68 69 72 |ilarly, |the thir|
|00004130| 64 20 63 75 72 76 65 20 | 66 72 6f 6d 20 20 0a 74 |d curve |from .t|
|00004140| 68 65 20 74 6f 70 20 69 | 73 20 61 20 73 75 70 65 |he top i|s a supe|
|00004150| 72 70 6f 73 69 74 69 6f | 6e 20 6f 66 20 74 68 65 |rpositio|n of the|
|00004160| 20 63 75 72 76 65 73 20 | 70 72 6f 64 75 63 65 64 | curves |produced|
|00004170| 20 62 79 20 6d 65 74 68 | 6f 64 73 20 45 48 41 34 | by meth|ods EHA4|
|00004180| 20 0a 61 6e 64 20 46 44 | 34 2c 20 61 6e 64 20 74 | .and FD|4, and t|
|00004190| 68 65 20 66 6f 75 72 74 | 68 20 63 75 72 76 65 20 |he fourt|h curve |
|000041a0| 66 72 6f 6d 20 74 68 65 | 20 74 6f 70 2c 20 77 68 |from the| top, wh|
|000041b0| 69 63 68 20 6c 69 65 73 | 20 62 61 72 65 6c 79 20 |ich lies| barely |
|000041c0| 61 62 6f 76 65 20 20 0a | 74 68 65 20 62 6f 74 74 |above .|the bott|
|000041d0| 6f 6d 20 63 75 72 76 65 | 2c 20 69 73 20 61 20 73 |om curve|, is a s|
|000041e0| 75 70 65 72 70 6f 73 69 | 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 |uperposi|tion of |
|000041f0| 74 68 65 20 63 75 72 76 | 65 73 20 70 72 6f 64 75 |the curv|es produ|
|00004200| 63 65 64 20 62 79 20 20 | 0a 6d 65 74 68 6f 64 73 |ced by |.methods|
|00004210| 20 45 48 41 36 20 61 6e | 64 20 46 44 36 2e 20 54 | EHA6 an|d FD6. T|
|00004220| 68 65 20 62 6f 74 74 6f | 6d 20 63 75 72 76 65 20 |he botto|m curve |
|00004230| 77 61 73 20 70 72 6f 64 | 75 63 65 64 20 62 79 20 |was prod|uced by |
|00004240| 6d 65 74 68 6f 64 20 41 | 2e 20 0a 20 0a 49 6e 20 |method A|. . .In |
|00004250| 74 68 65 20 73 65 63 6f | 6e 64 20 73 65 74 20 6f |the seco|nd set o|
|00004260| 66 20 65 78 70 65 72 69 | 6d 65 6e 74 73 2c 20 6f |f experi|ments, o|
|00004270| 75 72 20 70 75 72 70 6f | 73 65 20 77 61 73 20 74 |ur purpo|se was t|
|00004280| 6f 20 61 73 73 65 73 73 | 20 74 68 65 20 0a 72 65 |o assess| the .re|
|00004290| 6c 61 74 69 76 65 20 61 | 6d 6f 75 6e 74 20 6f 66 |lative a|mount of|
|000042a0| 20 63 6f 6d 70 75 74 61 | 74 69 6f 6e 61 6c 20 77 | computa|tional w|
|000042b0| 6f 72 6b 20 72 65 71 75 | 69 72 65 64 20 62 79 20 |ork requ|ired by |
|000042c0| 74 68 65 20 6d 65 74 68 | 6f 64 73 20 20 0a 77 68 |the meth|ods .wh|
|000042d0| 69 63 68 20 75 73 65 20 | 68 69 67 68 65 72 2d 6f |ich use |higher-o|
|000042e0| 72 64 65 72 20 64 69 66 | 66 65 72 65 6e 63 69 6e |rder dif|ferencin|
|000042f0| 67 20 74 6f 20 72 65 61 | 63 68 20 63 6f 6d 70 61 |g to rea|ch compa|
|00004300| 72 61 62 6c 65 20 6c 65 | 76 65 6c 73 20 20 0a 6f |rable le|vels .o|
|00004310| 66 20 72 65 73 69 64 75 | 61 6c 20 6e 6f 72 6d 20 |f residu|al norm |
|00004320| 72 65 64 75 63 74 69 6f | 6e 2e 20 57 65 20 63 6f |reductio|n. We co|
|00004330| 6d 70 61 72 65 64 20 70 | 61 69 72 73 20 6f 66 20 |mpared p|airs of |
|00004340| 6d 65 74 68 6f 64 73 20 | 45 48 41 32 20 20 0a 61 |methods |EHA2 .a|
|00004350| 6e 64 20 46 44 32 2c 20 | 45 48 41 34 20 61 6e 64 |nd FD2, |EHA4 and|
|00004360| 20 46 44 34 2c 20 61 6e | 64 20 45 48 41 36 20 61 | FD4, an|d EHA6 a|
|00004370| 6e 64 20 46 44 36 20 62 | 79 20 6f 62 73 65 72 76 |nd FD6 b|y observ|
|00004380| 69 6e 67 20 69 6e 20 65 | 61 63 68 20 6f 66 20 0a |ing in e|ach of .|
|00004390| 32 30 20 74 72 69 61 6c | 73 20 74 68 65 20 6e 75 |20 trial|s the nu|
|000043a0| 6d 62 65 72 20 6f 66 20 | 7b 5c 67 6d 72 65 73 6d |mber of |{\gmresm|
|000043b0| 7d 20 69 74 65 72 61 74 | 69 6f 6e 73 2c 20 6e 75 |} iterat|ions, nu|
|000043c0| 6d 62 65 72 20 6f 66 20 | 24 46 24 2d 65 76 61 6c |mber of |$F$-eval|
|000043d0| 75 61 74 69 6f 6e 73 2c | 20 20 0a 61 6e 64 20 72 |uations,| .and r|
|000043e0| 75 6e 20 74 69 6d 65 20 | 72 65 71 75 69 72 65 64 |un time |required|
|000043f0| 20 62 79 20 65 61 63 68 | 20 6d 65 74 68 6f 64 20 | by each| method |
|00004400| 74 6f 20 72 65 64 75 63 | 65 20 74 68 65 20 72 65 |to reduc|e the re|
|00004410| 73 69 64 75 61 6c 20 6e | 6f 72 6d 20 0a 62 79 20 |sidual n|orm .by |
|00004420| 61 20 66 61 63 74 6f 72 | 20 6f 66 20 24 5c 65 24 |a factor| of $\e$|
|00004430| 2c 20 77 68 65 72 65 20 | 66 6f 72 20 65 61 63 68 |, where |for each|
|00004440| 20 70 61 69 72 20 6f 66 | 20 6d 65 74 68 6f 64 73 | pair of| methods|
|00004450| 20 24 5c 65 24 20 77 61 | 73 20 63 68 6f 73 65 6e | $\e$ wa|s chosen|
|00004460| 20 20 0a 74 6f 20 62 65 | 20 73 6f 6d 65 77 68 61 | .to be| somewha|
|00004470| 74 20 67 72 65 61 74 65 | 72 20 74 68 61 6e 20 74 |t greate|r than t|
|00004480| 68 65 20 6c 69 6d 69 74 | 69 6e 67 20 72 61 74 69 |he limit|ing rati|
|00004490| 6f 20 6f 66 20 66 69 6e | 61 6c 20 74 6f 20 20 0a |o of fin|al to .|
|000044a0| 69 6e 69 74 69 61 6c 20 | 72 65 73 69 64 75 61 6c |initial |residual|
|000044b0| 20 6e 6f 72 6d 73 20 6f | 62 74 61 69 6e 61 62 6c | norms o|btainabl|
|000044c0| 65 20 62 79 20 74 68 65 | 20 6d 65 74 68 6f 64 73 |e by the| methods|
|000044d0| 2e 20 49 6e 20 74 68 65 | 73 65 20 74 72 69 61 6c |. In the|se trial|
|000044e0| 73 2c 20 20 0a 74 68 65 | 20 69 6e 69 74 69 61 6c |s, .the| initial|
|000044f0| 20 61 70 70 72 6f 78 69 | 6d 61 74 65 20 73 6f 6c | approxi|mate sol|
|00004500| 75 74 69 6f 6e 73 20 77 | 65 72 65 20 6f 62 74 61 |utions w|ere obta|
|00004510| 69 6e 65 64 20 62 79 20 | 67 65 6e 65 72 61 74 69 |ined by |generati|
|00004520| 6e 67 20 72 61 6e 64 6f | 6d 20 20 0a 63 6f 6d 70 |ng rando|m .comp|
|00004530| 6f 6e 65 6e 74 73 20 61 | 73 20 69 6e 20 74 68 65 |onents a|s in the|
|00004540| 20 73 69 6d 69 6c 61 72 | 20 65 78 70 65 72 69 6d | similar| experim|
|00004550| 65 6e 74 73 20 69 6e 20 | 5c 53 32 2e 20 57 65 20 |ents in |\S2. We |
|00004560| 6e 6f 74 65 20 74 68 61 | 74 20 66 6f 72 20 65 76 |note tha|t for ev|
|00004570| 65 72 79 20 20 0a 6d 65 | 74 68 6f 64 2c 20 74 68 |ery .me|thod, th|
|00004580| 65 20 6e 75 6d 62 65 72 | 73 20 6f 66 20 7b 5c 67 |e number|s of {\g|
|00004590| 6d 72 65 73 6d 7d 20 69 | 74 65 72 61 74 69 6f 6e |mresm} i|teration|
|000045a0| 73 20 61 6e 64 20 24 46 | 24 2d 65 76 61 6c 75 61 |s and $F|$-evalua|
|000045b0| 74 69 6f 6e 73 20 72 65 | 71 75 69 72 65 64 20 20 |tions re|quired |
|000045c0| 0a 62 65 66 6f 72 65 20 | 74 65 72 6d 69 6e 61 74 |.before |terminat|
|000045d0| 69 6f 6e 20 64 69 64 20 | 6e 6f 74 20 76 61 72 79 |ion did |not vary|
|000045e0| 20 61 74 20 61 6c 6c 20 | 6f 76 65 72 20 74 68 65 | at all |over the|
|000045f0| 20 32 30 20 74 72 69 61 | 6c 73 2e 20 54 68 65 20 | 20 tria|ls. The |
|00004600| 7b 5c 67 6d 72 65 73 6d | 7d 0a 69 74 65 72 61 74 |{\gmresm|}.iterat|
|00004610| 69 6f 6e 20 63 6f 75 6e | 74 73 2c 20 6e 75 6d 62 |ion coun|ts, numb|
|00004620| 65 72 73 20 6f 66 20 24 | 46 24 2d 65 76 61 6c 75 |ers of $|F$-evalu|
|00004630| 61 74 69 6f 6e 73 2c 20 | 61 6e 64 20 6d 65 61 6e |ations, |and mean|
|00004640| 73 20 61 6e 64 20 73 74 | 61 6e 64 61 72 64 20 20 |s and st|andard |
|00004650| 0a 64 65 76 69 61 74 69 | 6f 6e 73 20 6f 66 20 74 |.deviati|ons of t|
|00004660| 68 65 20 72 75 6e 20 74 | 69 6d 65 73 20 61 72 65 |he run t|imes are|
|00004670| 20 67 69 76 65 6e 20 69 | 6e 20 54 61 62 6c 65 20 | given i|n Table |
|00004680| 5c 72 65 66 7b 64 69 66 | 66 73 74 61 74 73 7d 2e |\ref{dif|fstats}.|
|00004690| 20 0a 20 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 74 61 62 6c 65 | . .\beg|in{table|
|000046a0| 7d 0a 5c 63 61 70 74 69 | 6f 6e 7b 53 74 61 74 69 |}.\capti|on{Stati|
|000046b0| 73 74 69 63 73 20 6f 76 | 65 72 20 24 32 30 24 20 |stics ov|er $20$ |
|000046c0| 74 72 69 61 6c 73 20 6f | 66 20 7b 5c 72 6d 20 47 |trials o|f {\rm G|
|000046d0| 4d 52 45 53 24 28 6d 29 | 24 7d 20 69 74 65 72 61 |MRES$(m)|$} itera|
|000046e0| 74 69 6f 6e 20 6e 75 6d | 62 65 72 73 2c 20 20 0a |tion num|bers, .|
|000046f0| 24 46 24 2d 65 76 61 6c | 75 61 74 69 6f 6e 73 2c |$F$-eval|uations,|
|00004700| 20 61 6e 64 20 72 75 6e | 20 74 69 6d 65 73 20 72 | and run| times r|
|00004710| 65 71 75 69 72 65 64 20 | 74 6f 20 72 65 64 75 63 |equired |to reduc|
|00004720| 65 20 74 68 65 20 72 65 | 73 69 64 75 61 6c 20 6e |e the re|sidual n|
|00004730| 6f 72 6d 20 62 79 20 20 | 0a 61 20 66 61 63 74 6f |orm by |.a facto|
|00004740| 72 20 6f 66 20 24 5c 65 | 24 2e 20 46 6f 72 20 65 |r of $\e|$. For e|
|00004750| 61 63 68 20 6d 65 74 68 | 6f 64 2c 20 74 68 65 20 |ach meth|od, the |
|00004760| 6e 75 6d 62 65 72 20 6f | 66 20 7b 5c 72 6d 20 47 |number o|f {\rm G|
|00004770| 4d 52 45 53 24 28 6d 29 | 24 7d 20 69 74 65 72 61 |MRES$(m)|$} itera|
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|00004970| 5c 6c 6f 77 65 72 2e 33 | 65 78 5c 68 62 6f 78 7b |\lower.3|ex\hbox{|
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|00004990| 6f 77 65 72 2e 33 65 78 | 5c 68 62 6f 78 7b 33 30 |ower.3ex|\hbox{30|
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|000049b0| 5c 68 62 6f 78 7b 34 32 | 7d 20 26 20 5c 6c 6f 77 |\hbox{42|} & \low|
|000049c0| 65 72 2e 33 65 78 5c 68 | 62 6f 78 7b 35 36 2e 37 |er.3ex\h|box{56.7|
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|000049e0| 68 62 6f 78 7b 2e 31 38 | 35 35 7d 20 5c 5c 20 20 |hbox{.18|55} \\ |
|000049f0| 0a 46 44 34 20 26 20 24 | 31 30 5e 7b 2d 31 32 7d |.FD4 & $|10^{-12}|
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|00004a20| 5c 68 6c 69 6e 65 20 20 | 0a 5c 6c 6f 77 65 72 2e |\hline |.\lower.|
|00004a30| 33 65 78 5c 68 62 6f 78 | 7b 45 48 41 36 7d 20 26 |3ex\hbox|{EHA6} &|
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|00004a70| 30 7d 20 26 20 20 0a 5c | 6c 6f 77 65 72 2e 33 65 |0} & .\|lower.3e|
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|00004a90| 77 65 72 2e 33 65 78 5c | 68 62 6f 78 7b 35 38 2e |wer.3ex\|hbox{58.|
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|00004ab0| 5c 68 62 6f 78 7b 2e 31 | 39 35 32 7d 20 5c 5c 20 |\hbox{.1|952} \\ |
|00004ac0| 0a 46 44 36 20 26 20 24 | 31 30 5e 7b 2d 31 32 7d |.FD6 & $|10^{-12}|
|00004ad0| 24 20 26 20 33 30 20 26 | 20 31 39 38 20 26 20 31 |$ & 30 &| 198 & 1|
|00004ae0| 30 30 2e 36 20 26 20 2e | 33 32 37 38 20 5c 5c 20 |00.6 & .|3278 \\ |
|00004af0| 5c 68 6c 69 6e 65 20 20 | 0a 5c 65 6e 64 7b 74 61 |\hline |.\end{ta|
|00004b00| 62 75 6c 61 72 7d 7d 0a | 5c 65 6e 64 7b 63 65 6e |bular}}.|\end{cen|
|00004b10| 74 65 72 7d 20 0a 5c 6c | 61 62 65 6c 7b 64 69 66 |ter} .\l|abel{dif|
|00004b20| 66 73 74 61 74 73 7d 20 | 0a 5c 65 6e 64 7b 74 61 |fstats} |.\end{ta|
|00004b30| 62 6c 65 7d 20 20 0a 0a | 49 6e 20 6f 75 72 20 66 |ble} ..|In our f|
|00004b40| 69 72 73 74 20 73 65 74 | 20 6f 66 20 65 78 70 65 |irst set| of expe|
|00004b50| 72 69 6d 65 6e 74 73 2c | 20 77 65 20 74 6f 6f 6b |riments,| we took|
|00004b60| 20 24 63 3d 64 3d 31 30 | 24 20 61 6e 64 20 75 73 | $c=d=10|$ and us|
|00004b70| 65 64 20 72 69 67 68 74 | 20 0a 70 72 65 63 6f 6e |ed right| .precon|
|00004b80| 64 69 74 69 6f 6e 69 6e | 67 20 77 69 74 68 20 61 |ditionin|g with a|
|00004b90| 20 66 61 73 74 20 50 6f | 69 73 73 6f 6e 20 73 6f | fast Po|isson so|
|00004ba0| 6c 76 65 72 20 66 72 6f | 6d 20 7b 5c 66 69 73 68 |lver fro|m {\fish|
|00004bb0| 70 61 63 6b 7d 20 20 0a | 5c 63 69 74 65 7b 53 77 |pack} .|\cite{Sw|
|00004bc0| 61 72 7a 74 72 61 75 62 | 65 72 2d 53 77 65 65 74 |arztraub|er-Sweet|
|00004bd0| 7d 2c 20 77 68 69 63 68 | 20 69 73 20 76 65 72 79 |}, which| is very|
|00004be0| 20 65 66 66 65 63 74 69 | 76 65 20 66 6f 72 20 74 | effecti|ve for t|
|00004bf0| 68 65 73 65 20 20 0a 66 | 61 69 72 6c 79 20 73 6d |hese .f|airly sm|
|00004c00| 61 6c 6c 20 76 61 6c 75 | 65 73 20 6f 66 20 24 63 |all valu|es of $c|
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|00004c20| 72 73 74 20 73 74 61 72 | 74 65 64 20 65 61 63 68 |rst star|ted each|
|00004c30| 20 6d 65 74 68 6f 64 20 | 0a 77 69 74 68 20 7a 65 | method |.with ze|
|00004c40| 72 6f 20 61 73 20 74 68 | 65 20 69 6e 69 74 69 61 |ro as th|e initia|
|00004c50| 6c 20 61 70 70 72 6f 78 | 69 6d 61 74 65 20 73 6f |l approx|imate so|
|00004c60| 6c 75 74 69 6f 6e 20 61 | 6e 64 20 61 6c 6c 6f 77 |lution a|nd allow|
|00004c70| 65 64 20 69 74 20 20 0a | 74 6f 20 72 75 6e 20 66 |ed it .|to run f|
|00004c80| 6f 72 20 34 30 20 7b 5c | 67 6d 72 65 73 6d 7d 20 |or 40 {\|gmresm} |
|00004c90| 69 74 65 72 61 74 69 6f | 6e 73 2c 20 61 66 74 65 |iteratio|ns, afte|
|00004ca0| 72 20 77 68 69 63 68 20 | 74 68 65 20 6c 69 6d 69 |r which |the limi|
|00004cb0| 74 20 6f 66 20 72 65 73 | 69 64 75 61 6c 20 20 0a |t of res|idual .|
|00004cc0| 6e 6f 72 6d 20 72 65 64 | 75 63 74 69 6f 6e 20 68 |norm red|uction h|
|00004cd0| 61 64 20 62 65 65 6e 20 | 72 65 61 63 68 65 64 2e |ad been |reached.|
|00004ce0| 20 46 69 67 75 72 65 20 | 5c 72 65 66 7b 70 64 65 | Figure |\ref{pde|
|00004cf0| 70 7d 20 73 68 6f 77 73 | 20 70 6c 6f 74 73 20 20 |p} shows| plots |
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|00004d50| 5c 67 6d 72 65 73 6d 7d | 20 69 74 65 72 61 74 69 |\gmresm}| iterati|
|00004d60| 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 | 74 68 65 20 74 68 72 65 |ons for |the thre|
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|00004d80| 74 65 0a 74 68 61 74 20 | 69 6e 20 20 46 69 67 2e |te.that |in Fig.|
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|00004da0| 69 6e 20 61 6c 6c 20 6f | 74 68 65 72 20 66 69 67 |in all o|ther fig|
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|00004dc0| 70 6c 6f 74 74 65 64 0a | 72 65 73 69 64 75 61 6c |plotted.|residual|
|00004dd0| 20 6e 6f 72 6d 73 20 77 | 65 72 65 20 6e 6f 74 20 | norms w|ere not |
|00004de0| 74 68 65 20 76 61 6c 75 | 65 73 20 6d 61 69 6e 74 |the valu|es maint|
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|00004e40| 72 61 74 63 68 2e 27 27 | 20 20 54 68 61 74 20 69 |ratch.''| That i|
|00004e50| 73 2c 20 0a 61 74 20 65 | 61 63 68 20 7b 5c 67 6d |s, .at e|ach {\gm|
|00004e60| 72 65 73 6d 7d 20 69 74 | 65 72 61 74 69 6f 6e 2c |resm} it|eration,|
|00004e70| 20 74 68 65 20 63 75 72 | 72 65 6e 74 20 61 70 70 | the cur|rent app|
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